Las ecuaciones de segundo grado son aquellas en
las que la incógnita aparece al menos una vez elevada al cuadrado (x2). Por
ejemplo: 3x2 - 3x = x - 1.
Pasemos al primer miembro de la ecuación todos los términos
de forma que en el segundo miembro quede 0. Obtenemos:
3x2 - 4x + 1 = 0.
Que es la forma en que deberemos expresar todas las
ecuaciones de segundo grado para resolverlas.
En muchos casos, una vez conseguida esta forma, la ecuación
se puede simplificar, lo cual es muy conveniente
Esto lo podemos resolver de otras maneras como:
RESOLUCIÓN GRÁFICA
Enseguida la resolveremos numéricamente, pero ahora veamos
cómo hacerlo gráficamente:
La expresión del primer miembro de la ecuación, una vez
simplificada, corresponde a una función cuadrática, que para el
primer ejemplo anterior corresponde a :
f(x) ó y = 3x2 - 4x + 1.
Como puede verse la gráfica corresponde a una curva que se
llama "parábola".
En este caso la parábola corta al eje de abscisas (X) en dos
puntos; los valores de la abscisa "x" de dichos puntos serán la
solución de la ecuación ya que para ellos y = 0 o sea: 3x2 - 4x + 1 =
0 que es lo que deseábamos.
Busca dichos valores de x moviendo el punto destacado sobre
la curva o los valores de x en la ventana inferior de la escena (También puedes
escribir un valor concreto de x borrando el actual).
Por tanto:
La solución de una ecuación de segundo grado es la
"x" de los puntos de corte de la gráfica (parábola), que se obtiene
de la ecuación, con el eje de abscisas (X).
Seguro que habrás obtenido como soluciones: x =
1 y x = 0,33 (en realidad x = 1/3).
A las soluciones de la ecuación, también se les llama
"raices" de la ecuación.
SOLUCIÓN GENERAL DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Como vimos en la descripción, cualquier ecuación de segundo
grado se puede expresar de la forma:
ax2 +bx + c = 0
donde a, b y c serán números enteros (positivos o
negativos). Para ello bastará obtener el denominador común (si hay
denominadores), para eliminarlo y pasar todos los términos al primer miembro.
Sabemos que una vez conseguida dicha forma, las dos
"posibles" soluciones de la ecuación son:
Así la ecuación del ejemplo inicial: 3x2 - 4x + 1
= 0: tendrá por soluciones:
Luego 1 y 0,33 son las dos soluciones o raíces de la
ecuación.
Ecuación
completa. Solución particular.
Yn + pyl
+ qy = g(x).
Miraremos el término
independiente y según su tipo ensayaremos una solución con coeficientes indeterminados
a calcular.
Caso 1 g(x) = e
axPn(x) donde a ∈ R y Pn(x) es un polinomio de orden n.
(1.1)Si a no es raíz
de la ecuación característica, la solución a ensayar es:
yp(x) = e axQn(x)
Donde Qn(x) es un polinomio de coeficientes indeterminados
de orden n a determinar.
(1.2) Si a es raız de
la ecuación característica, la solución a ensayar es:
yp(x) = e axx rQn(x)
Donde Qn(x) es un polinomio de coeficientes indeterminados
de orden n a determinar y r es el grado de multiplicidad de la raíz (a).
Nótese que Unas posibles variaciones del término
independiente pueden ser:
g(x) = Pn(x),
g(x) = eax
,
g(x) = b,
Donde “b” es una constante. El caso en que g(x) = b x se
obtiene haciendo Pn(x) = 1 y a = ln b, resultando yp(x) = e x
ln b .
Caso 2 g(x) = e ax
(Pn(x) sin bx + Qm(x) cos bx) donde a, b ∈ R y Pn(x),
Qm(x) son polinomios de orden n y m respectivamente.
(2.1) Si w1 6= a +
bi, w2 6= a − bi ⇒ yp(x) = e ax (SN (x) sin bx + TN (x) cos
bx), donde SN (x) y TN (x) son polinomios de orden N = max{n, m} con
coeficientes a determinar.
(2.2) Si w1 = a + bi, w2 = a − bi ⇒ yp(x) = x r
e ax (SN (x) sin bx + TN (x) cos bx), donde “r” es el grado de
multiplicidad de la raíz en la ecuación característica (en el caso de EDO orden
2, r = 1).
No hay comentarios.:
Publicar un comentario